Юрий Кукин родился 17 июля 1932 года в поселке Сясьстрой Ленинградской области, до 1973 года жил в Петергофе, затем — в Ленинграде; Санкт-Петербурге.
Окончил с отличием Ленинградский институт физкультуры им. П. Ф. Лесгафта в 1954 году. Работал тренером по фигурному катанию в детских спортивных школах Петродворца, Ломоносова, Ленинграда.
Песни начал писать с 1948 года сначала для джаза, где играл на барабане, потом – для институтских капустников.
С 1963 года появились песни, написанные в геологических экспедициях в Горную Шорию, на Камчатку, Дальний Восток, Памир.
Он автор знаменитой песни "За туманом", название которой теперь носит фестиваль в Чехии.
Лауреат конкурса туристской песни II Всесоюзного похода молодежи в Москве в 1966 году.
С 1968 года выступал от Ленконцерта, работал в ЦКБ "Меридиан" инструктором физкультуры, с 1971 года работал в Ленинградской областной филармонии, с 1979 года – в Ленконцерте, с 1988 года – в ленинградском театре-студии "Бенефис". Участник, член и председатель многих фестивалей авторской песни, различных радио и телевизионных передач, многочисленных концертов.
Вышли два диска-гиганта на фирме "Мелодия" (1988, 1990), аудиокассеты, компакт-диск и две книги песен.
7 июля 2011 года Юрий Алексеевич Кукин скончался у себя дома в Санкт-Петербурге.