Беккер родился в Мехико в семье Эдуардо Мануеля Бекера Келлара и Марии дель Росио Беби Пас Феликс. Его дед по отцовской линии — эмигрант из Германии, дед по материнской линии — испанец, обе его бабушки — мексиканки. У Куно есть брат Гюнтер и сестра Карина. С шести лет он занимался музыкой, собираясь в будущем стать профессиональным скрипачом. После окончания школы переехал в Европу, чтобы продолжать музыкальное образование в престижном Моцартовском университете австрийского Зальцбурга. Там он обучался несколько лет у всемирно известных педагогов.

В семнадцатилетнем возрасте Куно принял решение стать актёром. Он прошёл отбор из 3200 претендентов на место в центре актёрского обучения крупнейшей мексиканской медиа-компании Televisa.
Через два года занятий Бекер получил свою первую роль — в теленовелле «Ради жизни» и снялся в 120 эпизодах этого сериала. После этого молодого актёра охотно стали приглашать на мексиканское телевидение — он играл второстепенных персонажей в новеллах «Ад в маленьком городке» (с Вероникой Кастро), «Бесцветная душа», «Недоразумение», «В пылу злости», «Камилла» и «Мечтатели». В апреле 2000 года Куно впервые снялся в главной роли — в сериале «Обманутые женщины», а через некоторое время его пригласили на другую ведущую роль — в сериал «Первая любовь».
Кроме работы на телевидении Бекер принимал участие в сценических постановках Televisa. В 1998 году он сыграл в музыкальной комедии En Roma el Amor es Broma, параллельно снимаясь в теленовелле «Мечтатели» и выступая с гастрольными показами спектакля одного актёра «Запреты». За несколько лет ему удалось добиться известности и популярности, став одним из самых востребованных молодых актёров Мексики.
Кинокарьера Куно началась с небольшой роли в фильме «Первая ночь» (1996), затем он озвучивал Кэйла, главного героя мультфильма «Титан: После гибели Земли» (для испаноязычной версии; в оригинале за Кэйла говорил Мэтт Деймон). Затем были роли в фильмах «Люсия, Люсия» (2003; вместе с аргентинской актрисой Сесилией Рот), «Мечтая об Аргентине» (2003; номинация на «Золотого льва» Венецианского кинофестиваля), «Однажды на свадьбе», «Английский как второй язык» (оба 2005) и роль Мансура в казахстанско-российско-американском киноэпосе «Кочевник» (2004).
В 2005 году на экраны вышла американо-британская спортивная драма «Гол!», где Беккер исполнил роль Сантьяго Муньеса, молодого мексиканца, чья семья нелегально проникла в США. Фильм оказался успешным, и было решено снимать два ранее запланированных продолжения. «Гол! 2» вышел в прокат феврале 2007 года, «Гол! 3» — в 2009-м. Сам Куно продемонстрировал в фильме достаточно хорошую игру и умение обращаться с футбольным мячом — за эту роль он был номинирован на «Teen Choice Awards» в номинации «Прорыв года». В 2007 году вышла американская чёрная комедия «Секс на завтрак», где Бекер сыграл одну из главных ролей вместе с Маколеем Калкином, Элайзой Душку и Алексис Дзеной. В 2008 году он исполнил роль молодого боксёра Эктора в драме «Из Мексики с любовью».